本项目使用了硬禾学堂针对"2022年寒假在家一起练"开发的"基于RP2040的嵌入式系统学习平台"，通过该平台上的两个扩展引脚，连接自制的低通滤波器板，从而通过软件编程（使用MicroPython），在125MHz的时钟频率下，通过双路PWM得到DC-50KHz之间的模拟信号，模拟信号的波形由算法自动生成。
本项目的硬件设计和MicroPython软件代码都参考了第4部分参考文章中的内容，只是在本项目中做了移植和简单的修改。
先简述一下PWM的工作原理：
1. PWM的原理
PWM（Pulse Width Modulation）全称脉冲宽度调制，它通过对一系列脉冲的宽度进行调制，来等效地获得所需要波形（含形状和幅值）。
它是基于面积等效原理 - 面积等效原理是PWM控制技术的重要理论基础。 原理内容：冲量相等而形状不同的窄脉冲加在具有惯性的环节上时，其效果基本相同。
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冲量即指窄脉冲的面积。
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效果基本相同，是指环节的输出响应波形基本相同。
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如果把各输出波形用傅里叶变换分析，则其低频段非常接近，仅在高频段略有差异。
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将图1a、b、c、d所示的脉冲作为输入，加在图2a所示的R-L电路 上，设其电流i(t)为电路的输出，图2b给出了不同窄脉冲时i(t)的响应波形。
PWM信号参数和相互之间的关系
- 周期：信号变化的过程中，某段波形重复出现，其某一次开始至结束的这段时间就称为“周期“。
- 脉宽：在一个周期内正脉冲的持续时间。
- 占空比：是在一串理想的脉冲系列中，脉宽与周期的比值。例如在上图中t为正脉冲的持续时间，T为脉冲周期，占空比为t/T。
从上图可以看出，无论是用MCU还是FPGA来产生PWM信号，能够生成的PWM信号的频率（相当于DAC的转换率）和占空比可以调节的分辨率（相当于DAC的精度）会受到主时钟的限制，例如48MHz的主时钟，如果要获得8位精度的占空比调节，PWM的频率最高只能到48MHz/256 ～ 187.5KHz，如果要获得12位精度的占空比调节，PWM的频率最高只能到11.7KHz，用于生成任意波形时，根据奈奎斯特定律，只能生成11.7Khz/2以内的波形，当然要让波形好看，一个周期内要有10个点的话，生成的模拟信号的频率只能在18KHz（8位精度）、1KHz（12位精度）了。
PWM在音频信号的产生以及直流偏置电压的产生方面非常普遍，这两种场合都是对频率要求不太高的情况，通过单片机的编程能够满足系统的设计需求。
理解上述几个参数之间的关系，对于我们灵活使用PWM会非常有帮助。
2. PWM的应用
一根数据线通过占空比的变化来传递信息，应该是最简单的载体了，因此它的应用非常的广泛：
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使用PWM制作呼吸灯，用于表达系统的工作状态，当然呼吸灯也是初学嵌入式系统或FPGA的基本训练。
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使用PWM对LED调光，无论家用照明的LED、各种显示器的背光以及用颜色和亮度进行信息指示的LED，都是通过PWM的占空比调节来控制发光的亮度。
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使用PWM制作电子琴，通过PWM控制音调的输出
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使用PWM驱动舵机
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使用PWM驱动步进电机
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使用PWM驱动直流减速电机
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使用PWM实现DAC的功能
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使用PWM实现直流稳压
3. PWM的实现方式
如上所述，PWM是一种对模拟信号电平进行数字编码的方法。通过高分辨率计数器的使用，方波的占空比被调制用来对一个具体模拟信号的电平进行编码。
PWM信号仍然是数字信号，而且幅值相等，在任意时刻，输出的信号就只有1(ON)或者0(OFF)两个状态，具体是0还是1，则由控制器来控制，也由控制器的精度决定。
只要带宽足够，任何模拟值都可以使用PWM进行编码。
既然PWM是数字信号，那么任何具有高低电平可控输出功能的数字芯片都可以生成PWM，比如最常用有微控制器（MCU），可编程逻辑FPGA，或是LED驱动控制芯片如PCA9685，以及各种电源用的控制芯片，以上都可以产生PWM波形，所以说PWM应用实在是太广了。
3.1 单片机(MCU)生成PWM
使用MCU生成PWM是最简单的方式，PWM发生功能和定时器功能是一起的，一种方法是使用软件设置定时器的定时时间，定时时间到翻转IO的高低电平，由于是软件来翻转电平，因此精度不能做到非常精确；另一种是直接使用定时器中的PWM功能，在定时器模块中已经集成了专用的PWM发生电路，用户只需要配置一下该模块的寄存器，在寄存器中配置好PWM的频率和占空比，软件使能该功能后，就可以输出精准的PWM波形。
微控制器通过定时器输出PWM，再经过模拟低通滤波器得到模拟信号（以MSP430微控制器为例）
每一路可以产生不同的信号
微控制器的软件流程
更多与微控制器定时器生成PWM信号的信息参见技术文章：使用微控制器的PWM定时器作为DAC
3.2 用Verilog生成PWM
参见文章：PWM的应用及相应的Verilog代码
3.3 双PWM扩展转换频率和分辨率
给定了系统主时钟，比如RP2040的时钟位125MHz，也就限定了PWM能够产生的信号的频率和占空比（二者之间下互相制约），是否有能够产生更高频率、同时更高调节精度的方法呢？答案是肯定的，可以采用2个或3个PWM合成的方式，如下图所示：
采用多PWM输出扩展工作频率和分辨率的图示
以左侧的2路PWM合成为例，在PWM1的基础上通过增加一个PWM输出管脚和一个电阻R2，就可以在给定主时钟的前提下扩展输出信号的上限频率和分辨率。假如我们需要一个8位精度的DAC，可以通过两路4位的PWM DAC的道，没一路负责4位，合在一起构成8位，在上图中n=4，R2的值为R1的16倍。内部的8位波表中的高4位通过PWM1送出来，低4位通过PWM2送出来。
这种做法的优势在于在同样8位精度的情况下，PWM的频率可以提高16倍，也就是从原来的主时钟/256变成了主时钟/16，如果精度是12位，则PWM的频率可以提高64倍，从而能够生成的信号的最高频率相应提升。
要注意的是R2如果太大，就很难保证精度，我们常用的电阻的精度为5%、1%。
如果我们有多余的可以用PWM的管脚也可以通过3个PWM的组合进一步提高性能，但原理都是一样的。
为方便测试和验证，我特用KiCad设计了一块测试板，电路原理图和PCB的3D效果图如下，图中的阻、容参数可以根据实际使用的位数以及转换频率、要生成的波形的频率进行调整。在此电路中的值为16位DAC设置。
双PWM的原理图，用KiCad绘制
双PWM的PCB 3D，用KiCad绘制
这个电路在使用双PWM的结构的同时还通过一颗斯密特反相器74HC14来实现高频纹波抵消的功能，关于这个电路的设计细节可以参考文章：
使用我们的嵌入式系统平台，选择扩展IO中的IO14、IO15（为内部第7组PWM）连接扩展板，软件代码如下（用MicroPython和汇编语言编写），使用了RP2040的第二个内核：
import time, _thread, sys
from machine import Pin, PWM
import math
import uarray
pwmA = PWM(Pin(14, Pin.OUT)) # upper 4 bits
pwmB = PWM(Pin(15, Pin.OUT)) # low 4 bits
# Set the PWM frequency.
pwmFreq= int(125_000_000/16) # 4 bit
pwmA.freq(pwmFreq)
pwmB.freq(pwmFreq)
pwmA.duty_u16(31<<10) # upper
pwmB.duty_u16(0<<10)
sineBufLen= 500 #for 1kHz and 500kHz update frequ
sineBuf=uarray.array("H",range(0,sineBufLen))
def setAmpl(amp):
global sineBuf
for x in range(0,sineBufLen):
xr= x/sineBufLen*2*math.pi
sineBuf[x]= 127 +int(amp*math.sin(xr)) # 8 bit resolution
#print(sineBuf[x])
setAmpl(127)
ddsCtrl = uarray.array('i',[
0x40050000 + 0x98, # 0 cc7, Counter compare values, Channel 7
sineBufLen, # 4
0x40054000 + 0x28, # 8 TIMERAWL Register 1 MHz S. 553, Raw read from bits 31:0 of time (no side effects)
int((1<<16)*1.0) # 12 Index Step <>0 run, step in half words
])
@micropython.asm_thumb
def dds(r0, r1): # Buffer, ctrl-array
mov(r2,r0) # Buffer Start Address
ldr(r5, [r1,4]) # buffer length
ldr(r4, [r1,0]) # pwm counter compare register
mov(r3,0) # Buffer Index fine
label(nextVal)
label(waitLoop)
ldr(r6, [r1,8]) # Timer address
ldr(r6, [r6,0]) # 1Mhz Timer
lsr(r6,r6,1) # 500kHz
cmp(r6,r7)
beq(waitLoop)
mov(r7,r6) # store time slice
lsr(r0,r3,16) # index coarse
lsl(r0,r0,1) # index coarse half words
add(r0,r0,r2)
ldrh(r0,[r0,0]) # read buffer regPoke(0x40050000 + 0x98, ((a>>6)<<16) + (a&63))
lsl(r6,r0,28) # get the lowest 4 bits
lsr(r0,r0,4) # shift bits right (upper)
lsl(r0,r0,16)
lsr(r6,r6,28) # lower 4 bits
add(r0,r0,r6)
str(r0,[r4,0])
#b(retu)
ldr(r6, [r1,12]) # reload step index repeat?
cmp(r6,0)
beq(retu)
add(r3,r3,r6) # next buffer index fine
lsr(r0,r3,16)
cmp(r5,r0) # end not yet reached
bhi(nextVal)
lsl(r0,r5,16)
sub(r3,r3,r0)
mov(r0,r3)
b(nextVal)
label(retu)
def setF(f):
ddsCtrl[3]=int(f/1000*(1<<16))
def ddsWrap(sineBuf, ddsCtrl):
dds(sineBuf, ddsCtrl)
_thread.exit()
_thread.start_new_thread(ddsWrap,(sineBuf, ddsCtrl))
setF(20000)
在例程中波表用算法生成正弦波，每个周期500个点，精度为8位，信号的幅度设定为127（+/-），其中正弦波的高4位发送到管脚IO14对应的PWM的占空比控制参数中，第4位发送到管教IO15对应的PWM的占空比控制参数中。
setF（）函数可以设置要输出的信号的频率。
下面几张图就是用这种方法生成的不同频率的正弦波信号：
生成的5KHz的正弦波信号
生成的20KHz的正弦波信号
生成的50KHz的正弦波信号，低通滤波器截止频率设置的比较高，能够看出样点之间保持的状态。
4. 参考文章
